TEORIA MODELO TENSORIAL GRACELI - MECÂNICA GENERALZIADA.

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

Momento magnético do eletrão[editar | editar código-fonte]

O momento (dipolar) magnético de um eletrão é:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, $T^{\mu \nu }$ é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

onde $F^{\mu \nu }$ é o tensor eletromagnético e onde $\eta _{\mu \nu }$ é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Essa expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e do momento e é relativamente fácil de calcular. Pode ser escrito de forma mais compacta introduzindo o tensor de tensão de Maxwell, $\sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).$ Todos, exceto o último termo de $\mathbf {f}$ podem ser escritos como a divergência do tensor de tensão de Maxwell, dando: ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,$ Como no teorema de Poynting, o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada temporal da densidade de momento do campo eletromagnético, enquanto o primeiro termo é a derivada temporal da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica. onde o vetor de Poynting foi introduzido $\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

na relação acima para a conservação do momento, ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$ é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a $\mathbf {S}$ no teorema de Poynting.

A derivação acima assume conhecimento completo de ambos $\rho$ e $\mathbf {J}$ (tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.^[1]

Equação[editar | editar código-fonte]

Na física, o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima em unidades S.I., é dado por:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}

onde $\epsilon _{0}$ é a constante elétrica e $\mu _{0}$ é a constante magnética, $\mathbf {E}$ é o campo elétrico, $\mathbf {B}$ é o campo magnético e $\delta _{ij}$ é o delta de Kronecker. Na unidade cgs gaussiana, é dado por:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

\sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)

onde $\mathbf {H}$ é o campo magnetizante [en].

Uma forma alternativa de expressar este tensor é:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

{\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]

onde $\otimes$ é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:

\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)

O elemento $ij$ do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao $i$ -ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao $j$ -ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.

Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento $ij$ do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao $i$ -ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao $j$ -ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.

O tensor de tensão de Maxwell é um número complexo cuja parte real é a densidade de fluxo de momento [en] de Poynting.^[2]

Na magnetostática[editar | editar código-fonte]

Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

\sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.

Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

\sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.

onde $r$ é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e $t$ é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor. $B_{r}$ é a densidade de fluxo na direção radial, e $B_{t}$ é a densidade de fluxo na direção tangencial.

Na eletrostática[editar | editar código-fonte]

Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, $\mathbf {B} =\mathbf {0}$ , e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}

e na forma simbólica por:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

{\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I}

onde $\mathbf {I}$ é o tensor de identidade apropriado ${\big (}$ geralmente $3\times 3{\big )}$ .

Autovalor[editar | editar código-fonte]

Os autovalores do tensor de tensão de Maxwell são dados por:

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}

Esses autovalores são obtidos pela aplicação iterativa do lema dos determinantes da matriz [en], em conjunto com a fórmula de Sherman–Morrison [en].

Observando que a matriz de equação característica, ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$ , pode ser escrita como

{\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}

onde

V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)

definimos

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}

Aplicando o Lema do Determinante da Matriz uma vez, isso nos dá

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}

Aplicá-lo novamente produz,

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}

A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que $\lambda =-V$ é um dos autovalores.

Para encontrar o inverso de $\mathbf {U}$ , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:

\mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}

Fatorando um termo $\left(-\lambda -V\right)$ no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:

\left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)

Assim, uma vez que resolvemos

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

T^{\mu \nu }

G =

\eta _{\mu \nu }

$\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ G = $\eta _{\mu \nu }$ $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c}$

$T^{\mu \nu }$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ =

$T^{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

$T^{\mu \nu }$ G= $\eta _{\mu \nu }$

$T^{\mu \nu }$

-\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0

obtemos os outros dois autovalores.

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